解题思路:(1)作BH⊥AC于点H,求出AH=12,BH=9,求出CH,根据勾股定理得出BC2=BH2+CH2,求出即可;
(2)作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,求出OE=OF=[1/2]BH=[9/2],求出PC=15-x,根据y=S△ABC-S△BOM-S△COP和三角形面积公式求出即可;
(3)①当PN⊥AC时,作MG⊥AC于点G,求出AG=8,MG=6,①若点P1在AG上,由折叠知∠AP1M=135°,求出P1G=MG=6,代入AP1=AG-P1G求出即可;②若点P2在CG上,由折叠知∠AP2M=45°,求出P2G=MG=6,代入AP2=AG+P2G求出即可;③当MN⊥AC时,
由折叠知∠AMP3=∠NMP3,求出P3G=8-x,GN3=4,根据P3N32=P3G2+GN32得出x2=(8-x)2+42,求出即可.
(1)作BH⊥AC于点H,如图1,
∵在Rt△ABH中,cos∠A=[4/5],AB=15,
∴AH=12,
∴BH=9,
∵AC=15,
∴CH=3,
∵BC2=BH2+CH2,
∴BC2=92+32=90,
∴BC=3
10.
(2)作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,如图2,
∵OE⊥AB,OF⊥AC,点O是BC的中点,AB=AC,
∴OE=OF=[1/2]BH=[9/2],
∵AM=2MB,AB=AC=15,
∴AM=10,BM=5,
∵PA=x,
∴PC=15-x,
∴y=S△ABC-S△BOM-S△COP
=[1/2]BH•AC-[1/2]OE•BM-[1/2]OF•PC
=[1/2]×9×15-[1/2]×[9/2]×5-[1/2]×[9/2]×(15-x)
即y=[9/4]x+[45/2].定义域是0<x≤15.
(3)①当PN⊥AC时,如图2,作MG⊥AC于点G,
∵在Rt△AMG中,cos∠A=[4/5],AM=10,
∴AG=8,
∴MG=6,
②若点P1在AG上,∠AP1N1=90°,由折叠知:∠AP1M=∠N1P1M=135°,
∴∠MP1G=45°,
∵MG⊥AC,
∴P1G=MG=6,
∴AP1=AG-P1G=2.
③若点P2在CG上,由折叠知:∠AP2M=45°,
∵MG⊥AC,
∴P2G=MG=6,
∴AP2=AG+P2G=14.
④当MN⊥AC时,如图3,
由折叠知:∠AMP3=∠NMP3,P3N3=AP3=x,MN3=MA=10,
∴P3G=8-x,GN3=4,
∵P3N32=P3G2+GN32,
∴x2=(8-x)2+42,
∴x=5,
综上所述,x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直.
点评:
本题考点: 相似形综合题.
考点点评: 本题考查了折叠性质,勾股定理,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,难度偏大.