已知:如图,在△ABC中,AB=AC=15,cos∠A=[4/5].点M在AB边上,AM=2MB,点P是边AC上的一个动

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  • 解题思路:(1)作BH⊥AC于点H,求出AH=12,BH=9,求出CH,根据勾股定理得出BC2=BH2+CH2,求出即可;

    (2)作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,求出OE=OF=[1/2]BH=[9/2],求出PC=15-x,根据y=S△ABC-S△BOM-S△COP和三角形面积公式求出即可;

    (3)①当PN⊥AC时,作MG⊥AC于点G,求出AG=8,MG=6,①若点P1在AG上,由折叠知∠AP1M=135°,求出P1G=MG=6,代入AP1=AG-P1G求出即可;②若点P2在CG上,由折叠知∠AP2M=45°,求出P2G=MG=6,代入AP2=AG+P2G求出即可;③当MN⊥AC时,

    由折叠知∠AMP3=∠NMP3,求出P3G=8-x,GN3=4,根据P3N32=P3G2+GN32得出x2=(8-x)2+42,求出即可.

    (1)作BH⊥AC于点H,如图1,

    ∵在Rt△ABH中,cos∠A=[4/5],AB=15,

    ∴AH=12,

    ∴BH=9,

    ∵AC=15,

    ∴CH=3,

    ∵BC2=BH2+CH2

    ∴BC2=92+32=90,

    ∴BC=3

    10.

    (2)作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,如图2,

    ∵OE⊥AB,OF⊥AC,点O是BC的中点,AB=AC,

    ∴OE=OF=[1/2]BH=[9/2],

    ∵AM=2MB,AB=AC=15,

    ∴AM=10,BM=5,

    ∵PA=x,

    ∴PC=15-x,

    ∴y=S△ABC-S△BOM-S△COP

    =[1/2]BH•AC-[1/2]OE•BM-[1/2]OF•PC

    =[1/2]×9×15-[1/2]×[9/2]×5-[1/2]×[9/2]×(15-x)

    即y=[9/4]x+[45/2].定义域是0<x≤15.

    (3)①当PN⊥AC时,如图2,作MG⊥AC于点G,

    ∵在Rt△AMG中,cos∠A=[4/5],AM=10,

    ∴AG=8,

    ∴MG=6,

    ②若点P1在AG上,∠AP1N1=90°,由折叠知:∠AP1M=∠N1P1M=135°,

    ∴∠MP1G=45°,

    ∵MG⊥AC,

    ∴P1G=MG=6,

    ∴AP1=AG-P1G=2.

    ③若点P2在CG上,由折叠知:∠AP2M=45°,

    ∵MG⊥AC,

    ∴P2G=MG=6,

    ∴AP2=AG+P2G=14.

    ④当MN⊥AC时,如图3,

    由折叠知:∠AMP3=∠NMP3,P3N3=AP3=x,MN3=MA=10,

    ∴P3G=8-x,GN3=4,

    ∵P3N32=P3G2+GN32

    ∴x2=(8-x)2+42

    ∴x=5,

    综上所述,x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直.

    点评:

    本题考点: 相似形综合题.

    考点点评: 本题考查了折叠性质,勾股定理,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,难度偏大.