Question

设A、B均为n阶方阵，且B=B2，A=E+B，证明A可逆，并求其逆．

Answer 1

解题思路：要证明A可逆，即证明E+B乘以某个矩阵等于E，为了用上B=B²，因此乘的那个矩阵要含有B，当然也要含有E．

证明：由于（B+E）（B-2E）=B²+B-2B-2E，又B=B²，

故（B+E）（B-2E）=-2E

这样(B+E)

B−2E

−2＝E，于是A可逆，

且A−1＝

B−2E

−2＝

2E−B

2

点评：

本题考点： 矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 此题考查逆矩阵的证明，方法容易想到，但要凑出所需要的矩阵，还需要将已知条件结合起来．