Question

△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,且c是最大边.证明：△ABC是锐角三角形的充要条件是：

Answer 1

根据余弦定理得：cosA=(b²+c²-a²)/2bc,cosB=(a²+c²-b²)/2ac,

又∵S=(ab sinC)/2

∴ac cosA+bc cosB-4S

=ac·[(b²+c²-a²)/2bc]+bc·[(a²+c²-b²)/2ac]-4·[(ab sinC)/2]

=a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)-4a²b²sinC

∵ -1≤sin≤1

∴4a²b²sinC≤4a²b²

∴ac cosA+bc cosB-4S

=a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)-4a²b²sinC

≤a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)-4a²b²

①充分性

∵a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)-4a²b²=（a²+b²）(c²-a²-b²）

又∵△ABC是锐角三角形

∴a²+b²>0,c²-a²-b²