Question

试证明在锐角三角形中,任意两个角的正切值大于1(初中数学)

Answer 1

解析：

利用三角函数的定义,把tanA•tanB用线段的比表示,实现边角的相互转化,即可证明

证明：

以∠A、∠B为例证明,如图

以AB为直径作半圆,则点C必在圆外．设半圆交高CD于点M．

∴tanA•tanB＝(CD/AD)•(CD/DB)＞(MD/AD)•(MD/DB)＝(MD²)/(AD•DB)

∵AB为直径

∴∠AMB＝90°,且MD⊥AB

易证△AMD∽△BMD

∴AD/MD＝MD/DB

即MD²＝AD•DB

∴tanA•tanB＞1