设函数y=f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=

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  • 解题思路:(1)判断f(x)奇偶性,即找出f(-x)与f(x)之间的关系,∴令y=-x,有f(0)=f(x)+f(-x),故问题转化为求f(0)即可,可对x、y都赋值为0;

    (2)先依据函数单调性的定义判断函数的单调性,充分利用条件当x>0时,有f(x)<0与f(x+y)=f(x)+f(y),即可判定单调性,最后利用函数的单调性求出在区间[-9,9]上,y=f(x)的最值即可.

    (1)证明:令x=y=0,得f(0)=0

    令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

    ∴f(x)是奇函数…(6分)

    (2)对任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>0,

    f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1

    因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

    ∴f(x)在[-9,9]上是减函数

    故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9)

    而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12

    ∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12…(12分)

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的判断;函数的值域.

    考点点评: 本题考点是抽象函数及其性质,在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧,这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式,属于中档题.