Question

使不等式2^n>n^2+1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为__________

Answer 1

2^n > n^2 + 1 （1）

n=0 时,(1) 不成立；

n=1 时,(1) 不成立；

n=2 时,(1) 不成立；

n=3 时,(1) 不成立；

n=4 (1) 不成立；

n=5 (1) 成立 (32>26)

设n=k>4 时,(1) 成立,下面证明：n=k+1 时,(1) 式也成立：

由：2^k > k^2+1 (2)

(2) 式两边乘以2：(2) 式变成：2^(k+1) > 2(k^2+1)>(k+1)^2+1

因此对任何n>=k>5,均有 2^n>n^2+1.

从而最小的k值为：k=5.