如图,AB是⊙O的直径,C是半圆O上的一点,AC平分∠DAB,AD⊥CD,垂足为D,AD交⊙O于E,连接CE. (1)判

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  • (1)证明见解析;(2)图中阴影部分的面积为

    试题分析:(1)CD与圆O相切,理由为:由AC为角平分线得到一对角相等,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行,根据AD垂直于CD,得到OC垂直于CD,即可得证;

    (2)根据E为弧AC的中点,得到弧AE=弧EC,利用等弧对等弦得到AE=EC,可得出弓形AE与弓形EC面积相等,阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积,求出即可.

    试题解析:(1)CD与圆O相切.理由如下:

    ∵AC为∠DAB的平分线,

    ∴∠DAC=∠BAC,

    ∵OA=OC,

    ∴∠OAC=∠OCA,

    ∴∠DAC=∠OCA,

    ∴OC∥AD,

    ∵AD⊥CD,

    ∴OC⊥CD,

    则CD与圆O相切;

    (2)连接EB,交OC于F,

    ∵AB为直径,得到∠AEB=90°,

    ∴EB∥CD,

    ∵CD与⊙O相切,C为切点,

    ∴OC⊥CD,

    ∴OC∥AD,

    ∵点O为AB的中点,

    ∴OF为△ABE的中位线,

    ∴OF=

    AE=

    ,即CF=DE=

    在Rt△OBF中,根据勾股定理得:EF=FB=DC=

    则S 阴影=S DEC=

    ×

    ×

    =