Question

p为奇质数,整数a,b满足(b,p)=1,a≠b.若存在正整数k≥1,非负整数l,使得p^k||(a-b),p^l||n

Answer 1

(b,p)=1

p|(a-b)

所以(a,p)=1

且有x, (x,p)=1使bx=M*p^k+1

p^k||(a-b)

所以p^k||(a-b)x=ax-bx=ax-M*p^k-1

p^k|ax-1令ax=N*p^k+1, 显然p不|(N-M)

x^n(a^n-b^n)=(ax)^n-(bx)^n=(Np^k+1)^n-(Mp^k+1)^n

=.[Cni(N^i-M^i)p^(ik)].i=1~n

分析每项中p的指数最小值,应该就是i＝1时Cn1(N-M)p^k, 显然p^(k+l)||Cn1(N-M)p^k

下面只需要证明i>1的每项中p的指数大于l+k

i>1时Cni(N^i-M^i)p^(ik)中Cni=n!/i!(n-i)!,

设n!中p的指数为A,i!中为B, (n-i)!中为C则

A＝求和{[n/p^j] j=1~max}

B＝求和{[i/p^j] j=1~max}

C＝求和{[(n-i)/p^j] j=1~max}

显然各求和的分项无条件地有：A分项　》＝B分项+C分项.

如果 (i,p)=1时

当j=1~l,　[n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1-----------整数被拆分为两个非整数,整数部分减少1

则A-B-C>＝l　　　p^(l+k) k[Q(rp-1)-1]-r >= k[2Qr-1]-r >=kQr-r >=0

如果i=Q*p^r r>=l 显然