Question

从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点和各棱的中点中任取两点边成直线，要求所得直线与AC1垂直，则这样的直线共有___

Answer 1

解题思路：先根据线面垂直的判定与性质，证出AC₁⊥平面A₁BD，这样得到：平面A₁BD内的直线和平行于平面A₁BD的平面内的直线都与AC₁垂直．由此寻找与平面A₁BD平行的平面，再从中找到直线与AC₁垂直，不难找到符合题意的直线的条数．

∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，

∴AA₁⊥BD

又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且AA₁、AC是平面AA₁C₁C内的相交直线

∴BD⊥平面AA₁C₁C，

∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BD⊥AC₁，

同理可得BA₁⊥AC₁，结合线面垂直的判定定理，得AC₁⊥平面A₁BD

因此，平面A₁BD内的直线都与AC₁垂直，

并且平行于平面A₁BD的平面都与AC₁垂直，该平面内的直线都与AC₁垂直，

这样，在△A₁BD中有三条直线与AC₁垂直，在△B₁D₁C中有三条直线与AC₁垂直，在△IJK中有三条直线与AC₁垂直，

在△RST中有三条直线与AC₁垂直，共有3×4=12条直线与AC₁垂直

而在六边形LMNOPQ中，任意两点的连线都AC₁垂直，共C62=15条直线与AC₁垂直

综上所述，正方体顶点和各棱的中点中任取两点连成直线，与AC₁垂直的直线共12+15=27条

故答案为：27

点评：

本题考点： 棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本题给出正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点和各棱的中点中任取两点连成直线，问与AC1垂直的直线直线有多少条．着重考查了线面垂直的判定与性质和计数原理等知识，属于基础题．