（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（-2，0）、B（4，0），
与y轴交于点C（0，3），
∴设二次函数为y=a（x+2）（x-4），把点C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，
解得a=-[3/8]，
∴这个一次函数的解析式为：y=-[3/8]x2+[3/4]x+3；
∵y=-[3/8]x2+[3/4]x+3=-[3/8]（x-1）2+[27/8]，
∴抛物线的对称轴是直x=1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为；y=kx+b（k≠0），
∴
4k+b＝0
b＝3，解得
k＝?
3
4
b＝3，
∴直线BC的解析式为y=-[3/4]x+3．
（2）∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC=
OB2+OC2=
42+32=5，
如图1，当∠QDB=∠CAB时，[QB/CB]=[DB/AB]，[QB/5]=[3/6]，解得QB=[5/2]
过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵OC⊥x轴，
∴QH∥CO．
∴[QH/3]=
5
2
5．解得QH=[3/2]．
把y=[3/2]代入y=-[3/4]x+3，得x=2．
∴此时，点Q的坐标为（2，[3/2]）；
如图2，当∠DQB=∠CAB时，[QB/AB]=[DB/CB]，即[QB/6]=[3/5]，得QB=[18/5]．
过点Q作QG⊥x轴于点G，
∵OC⊥x轴，
∴QG∥CO．
∴[QG/3]=
18
5
5．解得QG=[54/25]．
把y=[54/25]代入y=-[3/4]x+3，得x=[28/25]．
∴此时，点Q的坐标为（[28/25]，[54/25]）．
综上所述，点Q坐标为（2，[3/2]）或（[28/25]，[54/25]）；
（3）当点Q的坐标为（2，[3/2]）时，设圆心的M（[5/2]，y）．
∵MD=MQ，
∴（[5/2]-1）2+y2=（[5/2]-2）2+（y-[3/2]）2，解得y=[1/12]，
∴M（[5/2]，[1/12]）．