Question

已知抛物线y2=2px（p＞0），椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0

Answer 1

解题思路：（1）在椭圆与双曲线中，分别求出点K，A的坐标，利用正切定义可得tan∠AKF的大小，进而判断出∠AKB的大小；

（2）在椭圆和双曲线中有相同的性质．由于在椭圆中同（1）可知直线KA的斜率是离心率e，

可得直线KA的方程与椭圆方程联立，可得△=0，即可得出直线KA与椭圆只有一个公共点A．

（1）在椭圆中，K(−

a2

c，0)，A(−c，

b2

a)，tan∠AKF＝

b2

a−0

−c+

a2

c＝

c

a＝e＜1，

∴∠AKF＜45⁰，

得∠AKB=2∠AKF为锐角；

同样，在双曲线中，K(

a2

c，0)，A(c，

b2

a)，tan∠AKF＝

b2

a−0

c−

a2

c＝

c

a＝e＞1，

∴∠AKF＞45⁰，

从而∠AKB=2∠AKF为钝角．

（2）在椭圆和双曲线中有相同的性质．

在椭圆中同（1）可知直线KA的斜率是离心率e，

直线KA的方程为y＝

c

a(x+

a2

c)，代入b²x²+a²y²=a²b²，得x²+2cx+c²=0，

△=0，x₁=x₂=-c，∴直线KA与椭圆只有一个公共点A．

点评：

本题考点： 圆锥曲线的综合．

考点点评： 熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其判断方法等是解题的关键．