Question

数学归纳法习题已知数列An 满足A1=1,且4An+1-AnAn+1+2An=9猜想An的通向公式 并用数学归纳法证明

Answer 1

4An+1-AnAn+1+2An=9

(4-An)An+1=9-2An

An+1=(9-2An)/(4-An)

=2+1/(4-An)

A2=7/3

A3=13/5

.

.

.

An=(6n-5)/(2n-1)

证明:

当n=1时

A1=(6*1-5)/(2*1-1)

=1

命题成立

假设当n=k时,命题成立

即 Ak=(6k-5)/(2k-1)

Ak+1=2+1/(4-Ak)

=2+1/[4-(6k-5)/(2k-1)]

=2+1/[(2k+1)/(2k-1)]

=2+(2k-1)/(2k+1)

=(6k+1)/(2k+1)

=[6(k+1)-5]/[2(k+1)-1]

所以命题成立

综上 An=(6n-5)/(2n-1) 成立