解题思路：（1）已知方程
f(x)＝
1
x−1
，可得[1
x
2
+a
＝
1/x−1]，通分化简得到一元二次方程，用△来进行判断，方程有无解；
（2）已知g（x）的解析式，根据求导法则求出g′（x），令g′（x）=0，先求出其极值点再研究其单调性，含有参量a，需要分类讨论；
（3）已知数列{xn}满足
x
1
＝0，
x
n+1
＝f(
x
n
)(n∈
N
*
)
，将xm+k-xk=（xm+k-xm+k-1）+（xm+k-1-xm+k-2）+（xm+k-2-xm+k-3）…+（xk+1-xk），然后再进行放缩，求证；
（1）∵方程f(x)＝
1
x−1，∴[1
x2+a＝
1/x−1]，
∴x2-x+a+1=0，∵a＞0，∴△=1-4（a+1）=-4a-3＜0
方程f(x)＝
1
x−1没有实数根；
（2）∵函数g(x)＝
1
3ax3+ax+
1
f(x)，
∴g′（x）=ax2+2x+a，令g′（x）=ax2+2x+a=0，则△=4-4a2，
①当△=4-4a2，＜0，即a＞1，对任意实数g′（x）＞0，
∴g（x）在R上单调递增
②当△=4-4a2，=0，即a=1，g′（1）=0，但g′（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上单调递增
③当△=4-4a2，＞0，即0＜a＜1，对任意实数由g′（x）＞0，ax2+2x+a＞0，得x＜
−1−
1−a2
a或x＞
−1+
1−a2
a，
∴g（x）在（
−1−
1−a2
a，
−1+
1−a2
a）上单调递减，
g（x）在（-∞，
−1+
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；数列与函数的综合．
考点点评： 此题难度比较大，多次用到放缩，但是一、二问比较简单，利用导数来研究函f（x）的单调性和极值，第三问是数列综合题，关键是拆项找出规律，此题还利用了分类讨论的思想；
1年前
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