解题思路：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；
（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2-1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；
②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2-2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．
（1）直线AB的解析式为y=2x+4，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2．
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵抛物线的顶点为点A（-2，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，
点C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：-4=4a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）2．
（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），
则平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2m+4，
∴F（0，-m2+2m+4）．
①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，
∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
∴△BAO∽△BFE，
∴[OA/EF=
OB
BE]，即[2/EF=
4
BE]，可得：BE=2EF．
如答图2-1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．
∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，-m2+2m+4），
∴BH=|2m|，FH=|-m2|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，
又∵BE=2EF，∴BH=4FH，
即：4|-m2|=|2m|．
若-4m2=2m，解得m=-[1/2]或m=0（与点B重合，舍去）；
若-4m2=-2m，解得m=[1/2]或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．
∴m=-[1/2]，
∴E（-[1/2]，3）．
②假设存在．
联立抛物线：y=-（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），
∴S△ACD=[1/2]×4×4=8．
∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，
∴S△EFG=64或S△EFG=1．
联立平移抛物线：y=-（x-m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）．
∴点E与点G横坐标相差2，即：|xG|-|xE|=2．
如答图2-2，S△EFG=S△BFG-S△BEF=[1/2]BF•|xG|-[1/2]BF|xE|=[1/2]BF•（|xG|-|xE|）=BF．
∵B（0，4），F（0，-m2+2m+4），∴BF=|-m2+2m|．
∴|-m2+2m|=64或|-m2+2m|=1，
∴-m2+2m可取值为：64、-64、1、-1．
当取值为64时，一元二次方程-m2+2m=64无解，故-m2+2m≠64．
∴-m2+2m可取值为：-64、1、-1．
∵F（0，-m2+2m+4），
∴F坐标为：（0，-60）、（0，3）、（0，5）．
综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，-60）、（0，3）、（0，5）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．