Question

（2006•泉州）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

Answer 1

解题思路：（1）已知直径求半圆面积，简单；

（2）截面面积=半圆面积+矩形面积．分别用含r的式子表示两个部分的面积可得函数关系式，根据关系式画图回答问题．

（1）当AD=4米时，

S_半圆=[1/2]π×（[AD/2]）²=[1/2]π×2²

=2π（米²）．（3分）

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8

∴CD=8-AD=8-2r（4分）

∴S=[1/2]πr²+AD•CD=[1/2]π r²+2r（8-2r）⁼（[1/2]π-4）r²+16r．（8分）

②由①知CD=8-2r，

又∵2≤CD≤3，

∴2≤8-2r≤3，

∴2.5≤r≤3．（9分）

由①知S=（[1/2]π-4）r²+16r≈（[1/2]×3.14-4）r²+16r

=-2.43r²+16r（10分）

=−2.43(r−

800

243)2+

600

243

∵-2.43＜0，

∴函数图象为开口向下的抛物线．

∵函数对称轴r＝

8

2.43≈3.3（11分）

又因为2.5≤r≤3＜3.3，

由函数图象知，其图象在对称轴左侧，函数为增函数，即S随r的增大而增大，

故当r=3时，有S最大值．（12分）

S最大值=（[1/2]π-4）×3²+16×3

≈（[1/2]×3.14-4）×9+48

=26.13

≈26.1（米²）

答：隧道截面的面积S的最大值约为26.1米²．（13分）

点评：

本题考点： 二次函数综合题；二次函数的应用．

考点点评： 此题的最后一个问题应注意函数自变量的取值范围，在此范围内通过观察图象求出最值，往往并非是函数的最值．