Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C 1 ：2x 2 -y 2 =1．

Answer 1

（1）双曲线C ₁：

x 2

1

2 -

y 2

1 =1 左顶点A（-

2

2 ，0 ），

渐近线方程为：y=±

2 x．

过A与渐近线y=

2 x平行的直线方程为y=

2 （x+

2

2 ），即y=

2 x+1 ，

所以

y=-

2 x

y=

2 x+1 ，解得

x=-

2

4

y=

1

2 ．

所以所求三角形的面积为S=

1

2 |OA||y|=

2

8 ．

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，

因直线PQ与已知圆相切，故

|b|

2 =1 ，

即b ²=2，由

y=kx+b

2x 2 -y 2 =1 ，

得x ²-2bx-b ²-1=0，

设P（x ₁，y ₁），Q（x ₂，y ₂），则

x 1 + x 2 =2b

x 1 x 2 =-1- b 2 ，

又y ₁y ₂=（x ₁+b）（x ₂+b）．

所以

OP •

OQ =x ₁x ₂+y ₁y ₂=2x ₁x ₂+b（x ₁+x ₂）+b ²

=2（-1-b ²）+2b ²+b ²

=b ²-2=0．

故PO⊥OQ．

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=

2

2 ，则O到直线MN的距离为

3

3 ．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2 ），

则直线OM的方程为y= -

1

k x ，由

y=kx

4 x 2 + y 2 =1 得

x 2 =

1

4+ k 2

y 2 =

k 2

4+ k 2 ，

所以 |ON| 2 =

1+ k 2

4+ k 2 ．

同理 |OM| 2 =

1+ k 2

2 k 2 -1 ，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM| ²+|ON| ²）d ²=|OM| ²|ON| ²，

所以

1

d 2 =

1

|OM| 2 +

1

|ON| 2 =

3+ 3k 2

k 2 +1 =3，

即d=

3

3 ．

综上，O到直线MN的距离是定值．