Question

已知函数f（x）=|x-a|-alnx，a∈R

Answer 1

（1）依题意有，函数的定义域为（0，+∞），

当a≤0时，f（x）=|x-a|-alnx=x-a-alnx

∵ f′(x)=1-

a

x ＞0 ，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），

当a＞0时， f(x)=|x-a|-alnx=

x-a-alnxx≥a

a-x-alnx0＜x＜a

若x≥a， f′(x)=1-

a

x =

x-a

x ＞0 ，此时函数单调递增，

若x＜a， f′(x)=-1-

a

x ＜0 ，此时函数单调递减，

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），

当a＞0时，函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）

（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，没有最小值，不合题意；

则必有a＞0，此时函数f（x）的单调减区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞），

所以函数f（x）的最小值为m=f（a）=-alna

由题意，-2a≤-alna≤-a，即1≤lna≤2

解得 e≤a≤e ²

1年前

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