如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO= ,∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒 个单位的速度运动,设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值．
（4）在（3）中,设PN与EC的交点为R,是否存在点R,使△ODR是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值；若不存在,请说明理由．
考点：二次函数综合题；三角形的面积；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质.
专题：几何综合题；分类讨论.
分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP,进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO,得出PH的长,再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时,分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点,OD=OR1=6时,当R2为顶点,OR2=DR2时,③当O为等腰△的顶点时,分别得出即可．
（1）∵△PMN是等边三角形,
∴∠P1M1N1=60°；
∵在Rt△AOB中,
∠AOB=90°,∠ABO=30°,
∴∠AP10=90°,
在Rt△AP1O中,AP1= AO=2 ,
∴t= ,即t=2；
（2）∵△BPH∽△BAO,
∴ ,
∴PH= ,
∵cos30°= ,
∴PN= = =8﹣t,
（3）当0≤t≤1时,S1=S四边形EONF,
作GH⊥OB于H,如图3,
∵∠GNH=60°,GH=2 ,
∴HN=2,∵PN=NB=8﹣t,
∴ON=OB﹣NB,
∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t,
∴OH=4+t﹣2=2+t,
S1= （2+t+4+t）×2
=2 t+6 ,
∵2 ＞0,
∴S随t增大而增大,
当t=1时,S最大=8 ,
当1＜t＜2时,如图4,S2=S五边形IFONG,
作GH⊥OB于H,
∵AP2= t
∴AF=2 t,
∴OF=4 ﹣2 t,
∴EF=2 ﹣（4 ﹣2 t）
=2 t﹣2 ,
∴EI=2t﹣2,
∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI
=2 t+6 ﹣ （2t﹣2）×（2 t﹣2 ）
=﹣2 t2+6 t+4 ,
∵﹣2 ＜0,
∴当t=﹣ = 时
S2最大= ,
当t=2时,如图5,
MP=MN=6,
N与D重合,
S3=S梯形IMNG,
= ×36﹣ ×4,
=8 ,
∴ ,
S最大= ,
（4）∵△ODH是等腰三角形,
①当O为顶点,OD=OR1=6时,
OR1=6﹣2 ＞2（不合题意舍去）,
当D为顶点时,R1不存在,
此时R1不存在,使△ODR是等腰三角形,
②当R2为顶点,OR2=DR2时,
ER2=P2R2=3,CP2=3 ,
∴AP2=4 ﹣3 = ,
t2= =1,
③当O为等腰△的顶点时,
CR3=6﹣2 ,
CP3= × ×2=6 ﹣6 ,
AP3=4 ﹣（6 ﹣6 ）,
=6 ﹣2 ,
∴t3= =2 ﹣2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时,△ODR是等腰三角形．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识,（3）（4）小题中,都用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面,做到不重不漏．