Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈（0，1]时单调递增，试比较f(13)，f(52)，

Answer 1

解题思路：由已知条件推导出函数的周期，再结合函数的奇偶性，把自变量全部化到（0，1]上，再由函数的单调性，即可解题

∵f（x+1）=-f（x）

∴f（x+2）=-f（x+1）

∴f（x）=f（x+2）

∴原函数的周期为T=2

∴f(

5

2)＝f(

1

2)，f（-5）=f（-1）

又∵y=f（x）是R上的偶函数

∴f（-1）=f（1）

又∵当x∈（0，1]时单调递增，且

1

3＜

1

2＜ 1

∴f(

1

3)＜f(

1

2) ＜f(1)

∴f(

1

3)＜f(

5

2)＜f(−5)

故答案为：f(

1

3)＜f(

5

2)＜f(−5)

点评：

本题考点： 函数的周期性；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查综合函数的性质，要特别注意周期性的灵活考察，能根据关系式推导周期．属简单题