Question

（2011•合肥一模）已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），数列{a_n+1-a_n}就以a₂-a₁=3不首项，公比为2的等比数列，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．

（2）利用分组求和法得S_n=3（2^n-2+2^n-3+…+2）-2n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，由眦能求出使得S_n＞21-2n成立的最小整数．

（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），

∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=3为首项，公比为2的等比数列，

∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）

∴n≥2时，a_n-a_n-1=3•2^n-2，，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，

累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）

∴a_n=3•2^n-1-2（当n=1时，也满足）（6分）

（2）由（1）利用分组求和法得S_n=3（2^n-2+2^n-3++2）-2n=3（2ⁿ-1）-2n（9分）S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，

得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，∴n＞3

∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数4．（12分）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式的求法和计算数列前n项和的最小值，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，认真审题，注意公式的合理选用．