Question

已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(23)x2−x+C（其中f ′(23)为f（x）在点x＝

Answer 1

解题思路：（1）求出f（x）的导函数，令x=[2/3]求出

f ′(

2

3

)

将其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表求出函数的单调区间．

（2）由（1）中的表，求出函数的极大值、极小值，令极大值等于0极小值等于0求出c的值．

（3）将C的值代入f（x），根据已知条件确定出f（x），令f（x）=0求出两个根，即函数与x的轴的两个交点，利用定积分求出函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

（1）由f(x)＝x3+f ′(

2

3)x2−x+C，

得f ′(x)＝3x2+2f ′(

2

3)x−1．

取x＝

2

3，得f ′(

2

3)＝3×(

2

3)2+2f ′(

2

3)×(

2

3)−1，

解之，得f ′(

2

3)＝−1，

∴f（x）=x³-x²-x+C．

从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+

1

3)(x−1)，

列表如下：

x (−∞，−

1

3) −

1

3 (−

1

3，1) 1 （1，+∞）

f'（x） + 0 - 0 +

f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −

1

3)和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是(−

1

3 ， 1)

（2）由（1）知，[f(x)]极大值＝f(−

1

3)＝(−

1

3)3−(−

1

3)2−(−

1

3)+C＝

5

27+C；

[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．

∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，

等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．

∴常数C＝−

5

27或C=1．

（3）由（2）知，f(x)＝x3−x2−x−

5

27或f（x）=x³-x²-x+1．

而f(−

1

3)＞0，所以f（x）=x³-x²-x+1．

令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．

∴所求封闭图形的面积=

∫1−1(x3−x2−x+1)dx=

(

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；定积分．

考点点评： 解决函数的单调性问题，一般求出函数的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间；令导函数小于0求出函数的单调递减区间．