(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=﹣(x﹣1) 2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1) 2+c,解得c=4。
∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣1) 2+4。
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。
(2)△CDB为直角三角形。理由如下:
由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4)。
如答图1所示,过点D作DM⊥x轴于点M,
则OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。
过点C作CN⊥DM于点N,
则CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。
在Rt△OBC中,由勾股定理得:
;
在Rt△CND中,由勾股定理得:
;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:
。
∵BC 2+CD 2=BD 2,∴根据勾股定理的逆定理,得△CDB为直角三角形。
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,
∵B(3,0),C(0,3),∴
,解得
。
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。
∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到,
∴直线QE的解析式为:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。
设直线BD的解析式为y=mx+m,
∵B(3,0),D(1,4),∴
,解得:
。
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。
连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G,则G(
,3)。
在△COB向右平移的过程中:
①当0<t≤
时,如答图2所示:
设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
设QE与BD的交点为F,
则:
,解得
,∴F(3﹣t,2t)。
∴S=S △ QPE﹣S △ PBK﹣S △ FBE
=
PE•PQ﹣
PB•PK﹣
BE•y F
=
×3×3﹣
(3﹣t)2﹣
t•2t=
。
②当
<t<3时,如答图3所示,
设PQ分别与BC、BD交于点K、点J,
∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t。
直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。∴J(t,6﹣2t)。
∴S=S △ PBJ﹣S △ PBK=
PB•PJ﹣
PB•PK=
(3﹣t)(6﹣2t)﹣
(3﹣t) 2=
t 2﹣3t+
。
综上所述,S与t的函数关系式为:S=
。
试题分析:(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标。
(2)分别求出△CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形。
(3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:
①当0<t≤
时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;
②当
<t<3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形。