如图,抛物线y=﹣(x﹣1) 2 +c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为

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  • (1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=﹣(x﹣1) 2+c上,

    ∴0=﹣(﹣1﹣1) 2+c,解得c=4。

    ∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣1) 2+4。

    令x=0,得y=3,∴C(0,3);

    令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。

    (2)△CDB为直角三角形。理由如下:

    由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4)。

    如答图1所示,过点D作DM⊥x轴于点M,

    则OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。

    过点C作CN⊥DM于点N,

    则CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。

    在Rt△OBC中,由勾股定理得:

    在Rt△CND中,由勾股定理得:

    在Rt△BMD中,由勾股定理得:

    ∵BC 2+CD 2=BD 2,∴根据勾股定理的逆定理,得△CDB为直角三角形。

    (3)设直线BC的解析式为y=kx+b,

    ∵B(3,0),C(0,3),∴

    ,解得

    ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。

    ∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到,

    ∴直线QE的解析式为:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。

    设直线BD的解析式为y=mx+m,

    ∵B(3,0),D(1,4),∴

    ,解得:

    ∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。

    连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G,则G(

    ,3)。

    在△COB向右平移的过程中:

    ①当0<t≤

    时,如答图2所示:

    设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

    设QE与BD的交点为F,

    则:

    ,解得

    ,∴F(3﹣t,2t)。

    ∴S=S QPE﹣S PBK﹣S FBE

    =

    PE•PQ﹣

    PB•PK﹣

    BE•y F

    =

    ×3×3﹣

    (3﹣t)2﹣

    t•2t=

    ②当

    <t<3时,如答图3所示,

    设PQ分别与BC、BD交于点K、点J,

    ∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t。

    直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。∴J(t,6﹣2t)。

    ∴S=S PBJ﹣S PBK=

    PB•PJ﹣

    PB•PK=

    (3﹣t)(6﹣2t)﹣

    (3﹣t) 2=

    t 2﹣3t+

    综上所述,S与t的函数关系式为:S=

    试题分析:(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标。

    (2)分别求出△CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形。

    (3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:

    ①当0<t≤

    时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;

    ②当

    <t<3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形。