（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2，
∴E点坐标是（2，2），
故答案为：（2，0），（2，2）；
（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四边形AODE为正方形，
过M作MH⊥BC于H，
∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，
NH=MH=4，MN=4
2 ，
∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN ∥ OE，
∴设MN的解析式为y=x+b，
而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，
∴M（2，2+b），N（6，6+b），
CM=
4 2 +(2+b ) 2 ，CN=6+b，MN=4
2 ，
分三种情况讨论：
①当CM=CN时，
4 2+（2+b） 2=（6+b） 2，
解得：b=-2，此时M（2，0）；
②当CM=MN时，
4 2+（2+b） 2=（4
2 ） 2，
解得：b 1=2，b 2=-6（不合题意舍去），
此时M（2，4）；
③当CN=MN时，
6+b=4
2 ，
解得：b=4
2 -6，此时M（2，4
2 -4）；
综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：
（2，0），（2，4），（2，4
2 -4）；
（3）根据题意得：
当0≤x≤2时，
∵∠BPN+∠DPE=90°，
∠BPN+∠BNP=90°，
∴∠DPE=∠BNP，
又∠PED=∠NBP=90°，
∴△DEP ∽ △PBN，
∴
PB
DE =
BN
EP ，
∴
6-x
2 =
BN
2-x ，
∴BN=
(2-x)(6-x)
2 ，
∴S △DBN=
1
2 •BN•BE
=
1
2 •
(2-x)(6-x)
2 •4
整理得：S=x 2-8x+12；
当2＜x≤6时，
∵△PBN ∽ △DEP，
∴
PB
NB =
DE
PB ，
∴
x-2
NB =
2
6-x ，
∴BN=
(x-2)(6-x)
2 ，
∴S △DBN=
1
2 •BN•BE，
=
1
2 •
(x-2)(6-x)
2 ×4，
整理得：S=-x 2+8x-12；
则S与x之间的函数关系式：
S= x 2 -8x+12(0≤x≤2)
S=- x 2 +8x-12(2＜x≤6) ，
①当0≤x≤2时，S=x 2-8x+12=（x-4） 2-4，
当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2，
②当2＜x≤6时，S=-x 2+8x-12=-（x-4） 2+4，
当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6，
综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．