(2012•高安市二模)如图,在下列矩形ABCD中,已知:AB=a,BC=b(a<b),假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形

1个回答

  • 解题思路:(1)①先证明是平行四边形,再根据一组邻边相等证明;

    ②根据三角形中位线定理得到四条边都相等;

    ③先根据三角形全等证明是平行四边形,再根据对角线互相垂直证明是菱形;

    (2)先作一条对角线,在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交,连接四个交点即可.

    (3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图(1)图(2)的面积都小于图(3)的面积;根据a与b的大小关系,分a>2b,a=2b和a<2b三种情况讨论.

    (1)都是真命题;

    若选(Ⅰ)证明如下:

    ∵矩形ABCD,

    ∴AD∥BC,

    ∵AH=BG,

    ∴四边形ABGH是平行四边形,

    ∴AB=HG,

    ∴AB=HG=AH=BG,

    ∴四边形ABGH是菱形;

    若选(Ⅱ),证明如下:

    ∵矩形ABCD,

    ∴AB=CD,AD=BC,

    ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

    ∵E、F、G、H是中点,

    ∴AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC,

    ∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,

    ∴EF=FG=GH=HE,

    ∴四边形EFGH是菱形;

    若选(Ⅲ),证明如下

    ∵EF垂直平分AC,

    ∴FA=FC,EA=EC,

    又∵矩形ABCD,

    ∴AD∥BC,

    ∴∠FAC=∠ECA,

    在△AOF和△COE中,

    ∠AOF=∠COE=90°

    AO=CO

    ∠FAO=∠ECO,

    ∴△ADF≌△COE(ASA)

    ∴AF=CE,

    ∴AF=FC=CE=EA,

    ∴四边形AECF是菱形;

    (2)如图4所示:AH=CF,EG垂直平分对角线FH,四边形HEFG是菱形;

    (3)SABGH=a2

    SEFGH=[1/2]ab,

    S菱形AECF=

    a(a2+b2)

    2b,

    a(a2+b2)

    2b-a2=

    a(a2+b2)−2a2b

    2b=

    a(a−b)2

    2b>0(b>a)

    ∴S菱形AECF>SABGH

    a(a2+b2)

    2b-[1/2]ab=

    a(a2+b2)−ab2

    2b=

    a(a2+b2−b2)

    2b=

    a3

    2b>0,

    ∴S菱形AECF>SEFGH

    ∵a2 -[1/2]ab=a(a-[1/2]b)

    点评:

    本题考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;三角形中位线定理;矩形的性质;命题与定理.

    考点点评: 本题主要考查了菱形的判定与性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点.注意第(3)题需要分类讨论,以防错解.