解题思路:(1)①先证明是平行四边形,再根据一组邻边相等证明;
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等;
③先根据三角形全等证明是平行四边形,再根据对角线互相垂直证明是菱形;
(2)先作一条对角线,在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交,连接四个交点即可.
(3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图(1)图(2)的面积都小于图(3)的面积;根据a与b的大小关系,分a>2b,a=2b和a<2b三种情况讨论.
(1)都是真命题;
若选(Ⅰ)证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∵AH=BG,
∴四边形ABGH是平行四边形,
∴AB=HG,
∴AB=HG=AH=BG,
∴四边形ABGH是菱形;
若选(Ⅱ),证明如下:
∵矩形ABCD,
∴AB=CD,AD=BC,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵E、F、G、H是中点,
∴AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC,
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形;
若选(Ⅲ),证明如下
∵EF垂直平分AC,
∴FA=FC,EA=EC,
又∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠FAC=∠ECA,
在△AOF和△COE中,
∠AOF=∠COE=90°
AO=CO
∠FAO=∠ECO,
∴△ADF≌△COE(ASA)
∴AF=CE,
∴AF=FC=CE=EA,
∴四边形AECF是菱形;
(2)如图4所示:AH=CF,EG垂直平分对角线FH,四边形HEFG是菱形;
(3)SABGH=a2 ,
SEFGH=[1/2]ab,
S菱形AECF=
a(a2+b2)
2b,
∵
a(a2+b2)
2b-a2=
a(a2+b2)−2a2b
2b=
a(a−b)2
2b>0(b>a)
∴S菱形AECF>SABGH.
∵
a(a2+b2)
2b-[1/2]ab=
a(a2+b2)−ab2
2b=
a(a2+b2−b2)
2b=
a3
2b>0,
∴S菱形AECF>SEFGH.
∵a2 -[1/2]ab=a(a-[1/2]b)
点评:
本题考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;三角形中位线定理;矩形的性质;命题与定理.
考点点评: 本题主要考查了菱形的判定与性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点.注意第(3)题需要分类讨论,以防错解.