（Ⅰ）∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且 f ′ (x)=
ax-1
x+1 ，a＞0 ，
由f′（x）=0，得x=
1
a ．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-1，
1
a ）
1
a （
1
a ，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） ↓ 极小值 ↑ 由上表知，当x∈（-1，
1
a ）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，
1
a ）内单调递减；
当x∈（
1
a ，+∞ ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（
1
a ，+∞ ）内单调递增．
∴函数f（x）的增区间是（
1
a ，+∞ ），减区间是（-1，
1
a ）．
（Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）-
x
1+x ，x∈[0，+∞），
对∅（x）求导，得∅′（x）=
1
x+1 -
1
(1+x ) 2 =
x
(1+x ) 2 ．
当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数．
∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）-
x
1+x ＞0，
∴
x
1+x ＜ln(x+1) ．
同理可证ln（x+1）＜x，
∴
x
1+x ＜ln(x+1)＜x ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， g(a)=f(
1
a )=1-(a+1)•ln(
1
a +1) ，
将 x=
1
a 代入
x
1+x ＜ln(x+1)＜x ，
得
1
a+1 ＜ln(
1
a +1)＜
1
a ，
即1 ＜(a+1)ln(
1
a +1)＜1+
1
a ，
∴ -
1
a ＜1-(a+1)ln(
1
a +1)＜0 ，
故-
1
a ＜g(a)＜0 ．