Question

已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足T

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，可得a₂+a₅=12，a₂a₅=27，结合d＞0，可得数列{a_n}的通项公式；利用T_n=2-b_n，再写一式，两式相减，可得数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）根据c_n=（S_n-λ）•b_n，确定表达式，利用c₆为数列{c_n}中的最大项，即可求实数λ的取值范围．

（Ⅰ）∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根

∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，

∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，

∴d＝

a5−a2

3＝2，a1＝1，

∴a_n=2n-1（n∈N^*）

在已知T_n=2-b_n中，令n=1，得b₁=1

当n≥2时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，两式相减得，b_n=b_n-1-b_n，

∴

bn

bn−1＝

1

2(n≥2)，

∴bn＝(

1

2)n−1(n∈N*)

（Ⅱ）∵Sn＝

n[1+(2n−1)]

2＝n2，则cn＝(Sn−λ)•bn＝(n2−λ)•(

1

2)n−1

当n≥2时，cn−cn−1＝(n2−λ)•(

1

2)n−1−[(n−1)2−λ]•(

1

2)n−2=

−n2+4n−2+λ

2n−1

∴c₆为数列{c_n}中的最大项，

∴有n≥7时，c_n-c_n-1≤0，

∴λ≤23，n≤6时，c_n-c_n-1≥0，

∴λ≥14

∴14≤λ≤23．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，确定数列的通项是关键．