Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-an，则数列{an}的通项公式an=______．

Answer 1

解题思路：由数列递推式S_n=2n-a_n得到S_n-1=2（n-1）-a_n-1，两式作差后构造型的等比数列∴{a_n-2}，由等比数列的通项公式求得答案．

由S_n=2n-a_n ①

得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2）②

①-②得：2a_n=a_n-1+2，

∴an−2＝

1

2(an−1−2) （n≥2），

又S₁=a₁=2×1-a₁，得a₁=1．

∴{a_n-2}构成以-1为首项，以[1/2]为公比的等比数列．

∴an−2＝−1×(

1

2)n−1＝−(

1

2)n−1，

an＝2−(

1

2)n−1．

当n=1时上式成立．

∴an＝2−(

1

2)n−1．

故答案为：2−(

1

2)n−1．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推式，考查了an=pan-1+q型递推式的通项公式的求法，关键是构造出新的等比数列，是中档题．