解题思路：（Ⅰ）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值，把b的值代入函数解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分离变量转化为a≤x2-2xlnx恒成立，构造辅助函数h（x）=x2-2xlnx，利用导数求其最小值得答案．
（Ⅱ）（ⅰ）要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，由函数单调性可求得两函数的最值；（ⅱ）a=1时，根据（Ⅰ）的推导知x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即lnx＜
1/2
(x−
1
x
)
．令x=
2k+1
2k−1]，得ln[2k+1/2k−1]＜[1/2]（[2k+1/2k−1
−
2k−1
2k+1]），整理得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜
4k
4
k
2
−1
，从而有ln（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1＜
4•1
4•
1
2
−1
+
4•2
4•
2
2
−1
+…+
4n
4
n
2
−1
，即得结论；
（Ⅰ）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，
则有2lnx0+bx0=2x0-2（*）
∵g′（x）=
2/x]+b，∴[2
x0+b=2．（**）
由（*）（**）两式，解得b=0，g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得
a/x≤x−2lnx，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
设h（x）=x2-2xlnx，h′（x）=2x-2（lnx+x•
1
x]）=2x-2lnx-2，
再设m（x）=2x-2lnx-2，∴当x≥1时，m′（x）＞0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1．
（2）（ⅰ）当a=1时，f（x）=x-[1/x]，
∵f′（x）=1+[1
x2＞0，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为f（3）=
8/3]．
要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
∵当x1=x2=…=xk-1=3时不等式左边取得最大值，xk=e时不等式右边取得最小值．
∴（k-1）×[8/3]≤16×2，解得k≤13．因此，k的最大值为13．
（ⅱ）当a=1时，根据（Ⅰ）的推导有x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即lnx＜[1/2(x−
1
x)．
令x=
2k+1
2k−1]，得ln[2k+1/2k−1]＜[1/2]（[2k+1/2k−1−
2k−1
2k+1]），
化简得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜[4k
4k2−1，
ln（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1
＜
4•1
4•12−1+
4•2
4•22−1+…+
4n
4n2−1，
即
1•4
4•12−1+
2•4
4•22−1+…+
n•4
4•n
点评：
本题考点： 数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值及函数与不等式的综合，考查了恒成立问题，考查了转化思想，训练了分离变量法和函数构造法，运用二次求导求函数的最值是解答该题的关键，是压轴题．
1年前
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