Question

已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）.我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“优数”，则在区

Answer 1

解题思路：根据换底公式

lo

g

a

b＝

lo

g

c

b

lo

g

c

a

，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_n并且化简，转化为log₂（n+2），

由log₂（n+2）为整数，即n+2=2^m，m∈N^*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2004]内的所有优数的和．

由换底公式：logab＝

logcb

logca．

∴a₁•a₂•a₃•…•a_n

=log₂3•log₃4…log_（n+1）（n+2）

=[lg3/lg2•

lg4

lg3…

lg(n+2)

lg(n+1)]

=

lg(n+2)

lg2=log₂（n+2），

∵log₂（n+2）为整数，

∴n+2=2^m，m∈N^*．

n分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，最大值2^m-2≤2004，m最大可取10，

故和为2²+2³++2¹⁰-18=2026．

故选：C．

点评：

本题考点： 对数的运算性质．

考点点评： 本题了对数的换底公式，考查了数列和的求法，把a1•a2…an化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．