解题思路:(1)由已知得f′(x)=3x2+2ax,且f′(2)=12+4a=0,由此能求出a.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+3,f′(x)=3x2-6x,由此利用导数性质f(x)极小值=f(2)=-1,f(x)极大值=f(0)=3,由此能求出满足方程f(x)=m只有一个解的m的值.
(1)∵f(x)=x3+ax2+3,
∴f′(x)=3x2+2ax,
∵x=2是y=f(x)的一个极值点,
∴f′(2)=12+4a=0,解得a=-3.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+3,
f′(x)=3x2-6x,
由f′(x)=0,得x=0或x=2,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;当x∈(0,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)增区间为(-∞,0),(2,+∞),减区间为(0,2),
∴f(x)极小值=f(2)=-1,f(x)极大值=f(0)=3,
∵方程f(x)=m只有一个解,
∴结合函数性质,得m<-1或m>3.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.