Question

（2015•兴国县一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|

Answer 1

解题思路：①利用点差法，确定AB中点M的坐标，分类讨论，根据AB的垂直平分线恒过定点S（6，0），即可求抛物线方程；

②分类讨论，求出△ABS面积的表达式，即可求得其最大值．

①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）

当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由|AF|+|BF|=8得x₁+x₂+p=8，∴x0＝4−

p

2

又

y21＝2px1

y22＝2px2得

y21−

y22＝2p(x1−x2)，∴y0＝

p

k

所以M(4−

p

2，

p

k)

依题意

p

k

4−

p

2−6•k＝−1，∴p=4

∴抛物线方程为y²=8x----（6分）

当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，∴抛物线方程为y²=8x

②当直线的斜率存在时，由M（2，y₀）及kl＝

4

y0，lAB：y−y0＝

4

y0(x−2)

令y=0，得xK＝2−

1

4

y20

又由y²=8x和lAB：y−y0＝

4

y0(x−2)得：y2−2y0y+2

y

点评：

本题考点： 抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．