3.2领域、范围、仁和反算子
It也许是实际情形操作员总体上没有被定义例如X.,在锻炼您请求显示那综合化操作员的3.2
公式5从C一定([0,1])入L (0,1),其中两空间用L (0,1)准则(即我们装备考虑C ([0,1])作为子空间L (0,1)).换句话说我们定义了I [f]通过使用在L.的准则是连续的作用的,但是我们考虑连续性的问题.我们叫操作员被定义它的领域的这个子空间,并且为一个一般线性操作符A我们写它作为D (A).
If A ：X - Y,A领域的图象在A的应用之下然后叫A的范围,书面R (A) ：
一条公式
This说不定是Y一个适当的子空间,在综合化操作员的例子中,范围
一条公式
我们可能一般来说写,或许uninstructively,
一条公式 在X一个线性子空间定义的A有界线性算子可以被延伸是有界线性算子总体上被定义X.(这不是显然的.我们仍然学习一个相关结果,Hahn-Banach定理,在下个章节.) 因此它是有些人为的制约定义域有界线性算子的,并且在其余我们的讨论我们将假设那D (A) =X.然而,当我们在本章的最后的部分来谈论无边际的操作员,领域将构成操作员的定义的内在部分.与矩阵的理论的As,一个一般线性操作符的反面的概念是非常有用的.我们说A是可转位的,如果等式Ax=y有每y的R一种独特的解答(A) (即,如果A单射).在这种情况下我们定义了A,由A y=x.的A反面.如果A是线性的,并且A存在然后它太是线性的(参见锻炼3.3).
Another重要概念是A,Ker (A),A寄发到零D的所有元素的空间仁(A) ：Ker (A)= {u D (A) ：Au=0}.A的invertibility与它的lernel的琐事是等效的.
Lemma 3.4 A是可转位iff Ker (a) = {0}.
Proof ：假设A是可转位的,然后等式Ax=y有所有y的R (A)一种独特的解答.然而,如果Ker (A)包含某一非零元素z然后A (也x+z)=y,因此Ker (A)必须是{0}.相反地,如果A为某一y R (A)不是可转位的然后有二种分明解答,x和x,Ax=y和如此A (x - x)=0,给Ker (A)的一个非零元素.invertibility的This描述特性将证明有用以后.