1,证明：过点E作E垂直BC于D
所以角BHE=角EHC=90度
因为角BAC=90度
所以角BAC=角BHE=90度
因为BE平分角BAC
所以角ABE=角CBE
因为AD垂直BC
所以角ADC=90度
因为角ADC+角CAD+角C=180度
所以角CAC+角C=90度
角BAC=角BAD+角CAD=90度
所以角BAD=角C
因为角AFE=角BAD+角ABE
角AEF=角CBE+角C
所以角AEF=角AFE
所以AE=AF
在直角三角形BAE和直角三角形BHE中
角BAE=角BHE=90度
角BAE=角CBE
BE=BE
所以三角形BAE和三角形HBE全等（AAS)
所以AE=EH
所以AF=EH
因为FG平行BC
所以角AFG=角ADC=90度
角AGF=角C
所以角AFG=角EHC=90度
所以三角形AFG和三角形EHC全等（AAS)
所以AG=CE
因为AG=AE+EG
CE=CG+EG
所以AE=CG
4,证明：因为EF是AD的垂直平分线
所以AE=DE
AF=DF
所以角FAD=角FDA
因为AD是角BAC的平分线
所以角FAD=角CAD
所以角FDA=角CAD
所以DF平行AC
因为角AE=DE（已证）
所以角ADE=角DAE
因为角ADE=角B+角FAD
角DAE=角CAD+角EAC
所以角EAC=角B
5,图中的字母不是F二是P,求证有问题,若是PE=BO,则结论可证
证明：因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角C=45度
因为O是斜边AC的中点
所以BO是等腰直角三角形ABC的垂线,角平分线
所以角POB=90度
角OBC=45度
因为PB=PD
所以角PBD=角PDB
因为角PBD=角OBP+角OBC=45+角OBP
角PDC=角DPE+角C=45+角DPE
所以角OBP=角DPE
因为DE垂直AC
所以角PED=90度
所以角POB=角PED=90度
所以三角形POB和三角形DEP全等（AAS)
所以BO=PE
6,题中少个条件,若加个点D是BC的中点,则结论可证
证明：延长AD,使DG=AD,连接BG
因为点D是BC的中点
所以BD=DC
因为角BDG=角CDA
所以三角形BDG和三角形CDA全等（SAS)
所以角BGD=角CAD
BG=AC
因为BE=AC
所以BE=BG
所以角BGD=角BED
所以角BED=角CAD
因为角BED=角AEF
所以角AEF=角CAD
所以AE=AF
7,证明;:：因为AD是角BAC的平分线
所以角BAD=角CAD
因为EF平行AD
所以角MFA=角CAD
角AMF=角BAD
所以角AMF=角MFA
所以AF=AM
过E作EG平行AC
所以角GEM=角AFM
EG/AC=BG/AB=BE/BC
因为点E是BC的中点
所以BE=CE=1/2BC
所以EG=1/2AC
BG=1/2AB
因为BG+AG=AB
所以BG=AG
因为CF=AC+AF
BM=BG+MG
BM=AG+MG=AM+MG+MG=AF+2MG
所以BM=AF+AC
所以BM=CF
因为BM=BG+GM=BG+EG
所以BM=1/2AB+1/2AC
所以BM=1/2(AB+AC)
8,求证有问题,若是PB=2PQ,则结论可证
证明：因为三角形ABC是等边三角形
所以角BAD=角ACE=60度
AB=AC
因为AD=CE
所以三角形BAD和三角形ACE全等（SAS)
所以角ABD=角CAE
因为角BPQ=角BAE+角ABD
角BAC=角BAE+角CAE=60度
所以角BPQ=60度
因为BQ垂直AE于Q
所以角BQP=90度
因为角BQP+角BPQ+角PBQ=180度
所以角PBQ=30度
所以PQ=1/2PB
所以PB=2PQ
10,证明：连接CE
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=AC=BC
角BAC=60度
因为三角形ADE是等边三角形
所以角DAE=60度
AE=AD
因为角BAD=角BAC+角CAD=60+角CAD
角CAE=角DAE+角CAD=60+角CAD
所以角BAD=角CAE
因为AB=AC（已证）
所以三角形ABD和三角形ACE全等（SAS)
所以BD=CE
因为BD=BC+CD
所以CE=AC+CD