大多数人最为熟悉的数有两种,即正数（＋5,＋17．5）和负数（－5,－17．5）.负数是在中世纪出现的,它用来处理3－5这类问题.从古代人看来,要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的.但是,中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念.“请你给我五个苹果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱.”这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）.
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘.正数乘正数,其乘积为正.正数乘负数,其乘积为负.最重要的是,负数乘负数,其乘积为正.
因此,（＋1）×（＋1）＝（＋1）；
（＋1）×（－1）＝（－1）；
（－1）×（－1）＝（＋1）.
现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1?或者用数学语言来说,＋1的平方根是多少?
这一问题有两个答案.一个答案是＋1,因为（＋1）×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1,因为（－1）
×（－1）＝（＋1）.数学家是用√￣（＋1）＝±1来表示这一答案的.（DeepKen注：（＋1）在根号下）
现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是多少?
对于这个问题,我们感到有点为难.答案不是＋1,因为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1,因为－1的自乘同
样是＋1.当然,（＋1）×（－1）＝（－1）,但这是两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘.
这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号,譬如说＃1,而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出－1的数,即（＃1）×（＃1）＝（－1）.当这种想法刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为
这种数在他们所习惯的数系中并不存在.实际上,这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻.这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理.
但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给这种数一个专门的符号“i”(imaginary).我们可以把正
虚数写为（＋i）,把负虚数写为（－i）,而把＋1看作是一个正实数,把（－1）看作是一个负实数.因此我们可
以说√￣（－1）＝±i.
实数系统可以完全和虚数系统对应.正如有＋5,－17．32,＋3／10等实数一样,我们也可以有
＋5i,－17．32i,＋3i／10等虚数.
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来.
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧
的就是负实数.
这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来.第二条直线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数.这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所有的数都表示出来.例如（＋2）＋（＋3i）或（＋3）＋（－2i）.这些数就是“复数”.
数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的.如果没有所谓虚数,
们就无法做到这一点了.