如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D

1个回答

  • 解题思路:(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可;

    (2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8-x)2+y2=(6-y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;

    (3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.

    (1)当PQ∥AD时,则

    ∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,

    又∵AB∥CD,

    ∴四边形APQD是矩形,

    ∴AP=QD,

    ∵AP=CQ,

    AP=[1/2]CD=[1/2×8=4,

    ∴x=4.

    (2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.

    ∴(8-x)2+y2=(6-y)2+x2

    ∴y=

    4x−7

    3].

    ∵0≤y≤6,

    ∴0≤[4x−7/3]≤6,

    ∴[7/4]≤x≤[25/4].

    (3)S△BPE=[1/2]•BE•BP=[1/2]•[4x−7/3]•(8-x)=

    −4x2+39x−56

    6,

    S△ECQ=[1/2•CE•CQ=

    1

    2]•(6-[4x−7/3])•x=

    −4x2+25x

    6,

    ∵AP=CQ,

    ∴SBPQC=[1/2S矩形ABCD=24,

    ∴S=SBPQC-S△BPE-S△ECQ=24-

    −4x2+39x−56

    6]-

    −4x2+25x

    6,

    整理得:S=

    4x2−32x+100

    3=[4/3](x-4)2+12([7/4≤x≤

    25

    4]),

    ∴当x=4时,S有最小值12,

    当x=[7/4]或x=[25/4]时,S有最大值[75/4].

    ∴12≤S≤[75/4].

    点评:

    本题考点: 二次函数的最值;勾股定理;矩形的性质.

    考点点评: 解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.