∵sinA＋sinB＋sinC
＝（sinA＋sinB）＋sin（180°－A－B）
＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋sin（A＋B）
＝2sin［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋2sin［（A＋B）/2］cos［（A＋B）/2］
＝2sin［（A＋B）/2］｛cos［（A－B）/2］＋cos［（A＋B）/2］｝
＝2sin［（180°－C）/2］×2cos（A/2）cos（B/2）
＝4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）.
显然有：S(△ABC)＝（1/2）r（a＋b＋c）＝（1/2）absinC,
由正弦定理,有：a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC,
∴r（2RsinA＋2RsinB＋2RsinC）＝（2RsinA）（2RsinB）sinC,
∴r（sinA＋sinB＋sinC）＝2RsinAsinBsinC,
∴4r［cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）］
＝16Rsin（A/2）cos（A/2）sin（B/2）cos（B/2）sin（C/2）cos（C/2）,
∴r＝4Rsin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）.······①
∵cosA＋cosB＋cosC
＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋1－2［sin（C/2）］^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］－2｛sin［（180°－A－B）/2］｝^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］－2｛cos［（A＋B）/2］｝^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］｛cos［（A－B）/2］－cos［（A＋B）/2］｝
＝1＋2cos［（180°－C）/2］×2sin（A/2）sin（B/2）
＝1＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）,
∴cosA＋cosB＋cosC－1＝4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）,
∴R（cosA＋cosB＋cosC－1）＝4Rsin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）.······②
由①、②,得：r＝4Rsin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）＝R（cosA＋cosB＋cosC－1）.