已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的 - 知识问答

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，

1个回答

（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为e＝
1
2，
所以
b2
a2＝
a2?c2
a2＝1?e2＝
3
4，
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以
x02
4+
x02
3＝1，x02＝
12
7．
所以点O到直线AB的距离d＝
12
7＝
2
21
7．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
y＝kx+m
x2
4+
y2
3＝1消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2＝?
8km
3+4k2，x1x2＝
4m2?12
3+4k2．
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2＝0．
所以(k2+1)
4m2?12
3+4k2?
8k2m2
3+4k2+m2＝0．
整理得7m²=12（k²+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d＝
|m|
k2+1＝
12
7＝
2
21
7为定值．

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