Question

已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边长为5

Answer 1

解题思路：（1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；

（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC²=AC²+AB²，然后根据根与系数的关系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可；

（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

（1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，

∴△＞0，

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²

又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．

∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，

由（AB+AC）²-2AB•AC=25

∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25

∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，

∴k₁=2或k₂=-5

又∵AB+AC=2k+3＞0

∴k₂=-5舍去

∴k=2；

（3）∵△ABC是等腰三角形；

∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，

∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0

解得k不存在；

当AB=BC时，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6

∴△ABC的周长为14或16．

点评：

本题考点： 一元二次方程的应用．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．