（1） F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
a
x (x＞0) ， F ′ (x)=
1
x -
a
x 2 =
x-a
x 2 (x＞0) ．（2分）
因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2） F ′ (x)=
x-a
x 2 (0＜x≤3)，k= F ′ ( x 0 )=
x 0 -a
x 0 2 ≤
1
2 (0＜ x 0 ≤3) 恒成立，（7分）
即 a≥(-
1
2 x 0 2 + x 0 ) max ，当x 0=1时取得最大值
1
2 ．所以， a≥
1
2 ，所以 a min =
1
2 ．（10分）
（3）因为x≥e，所以 xlnx≥ax-a⇔a≤
xlnx
x-1 ，令 h(x)=
xlnx
x-1 ，x∈[e，+∞) ，则 h ′ (x)=
x-lnx-1
(x-1) 2 ．（12分）
因为当x≥e时， (x-lnx-1 ) ′ =1-
1
x ＞0 ，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以 h(x ) min =h(e)=
e
e-1 ，所以0＜ a≤
e
e-1 ．（16分）