解题思路：（Ⅰ）解f′（[1/2]）=0得到b值，再验证x=[1/2]为极值点．
（Ⅱ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）设切点坐标，表示出切线方程，转化为方程的解的个数问题，进一步利用数形结合即可求得．
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2+[b
x2+
1/x]，∵x=[1/2]是f(x)＝2x−
b
x+lnx的一个极值点，
∴f′（[1/2]）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）=
(2x−1)(x+1)
x2，
当0＜x＜
1
2时，f′（x）＜0；当x＞
1
2时，f′（x）＞0，所以x=[1/2]为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=
(2x−1)(x+1)
x2，令f′（x）＞0得x＞[1/2]，
∴函数f（x）的单调增区间为[
1
2，+∞)．
（Ⅲ）g(x)＝f(x)−
1
x=2x+lnx，
设切点坐标为（x0，2x0+lnx0），则斜率为2+[1
x0，切线方程为：y-2x0-lnx0=（2+
1
x0）（x-x0）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x0-lnx0=（2+
1
x0）（2-x0），
即lnx0+
2
x 0−2＝0，令h（x）=lnx+
2/x−2，
则h′（x）=
1
x−
2
x2 ]=0，得x=2．
h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵h(
1
2)＝2−ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)＝
2
e2＞0
∴h（x）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了应用导数研究函数的极值、单调性问题，难度稍大，注意本题中数形结合思想与转化思想的运用．