解题思路：（1）结合勾股定理得出直角三角形的三边长，进而分类讨论得出符合题意的t的值；
（2）利用当PD=CQ时，Q没有运动到C点时，当PD=CQ时，Q运动到C点后再向B点运动时，分别得出等式求出即可；
（3）分别求出当PQ平分梯形面积以及平分梯形周长时的时间，进而得出答案．
（1）如图1，过点Q作QE⊥BC于点E，
∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，
∴PE=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PE=5，PB=3t，
∴PB-AQ=3t-（16-t）=5，
解得：t=[21/4]，
如图2，过点Q作QF⊥BC于点F，
∵AB=12，当P、Q两点之间的距离是13时，
∴PF=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PF=5，PB=3t，
∴PB+PF=AQ=16-t=3t+5，
解得：t=[11/4]；
综上所述：当t为[21/4]或[11/4]时，P、Q两点之间的距离是13；
（2）如图3，当PD=CQ时，Q没有运动到C点时，
由题意可得出：PD=t，CQ=21-3t，
∴t=21-3t，
解得：t=[21/4]，
如图4，当PD=CQ时，Q运动到C点后再向B点运动时，
由题意可得出：PD=t，CQ=3t-21，
∴t=3t-21，
解得：t=[21/2]，
综上所述：当t=[21/4]或[21/2]时，以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（3）不存在，
理由：∵直角梯形的面积为：[1/2]×12×（21+16）=222，
∴当梯形APQB面积为111时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的面积等分，
即[1/2]×AB×（AP+QB）=111，
∴[1/2]×12×（16-t+3t）=111，
解得：t=[5/4]，
如图5，过点D作DW⊥BC于点W，
∵AB=12，BC=21，AD=16，
∴CW=5，CD=13，
∵直角梯形的周长为：13+16+12+21=62，
当梯形APQB的周长为31时，直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长等分，
∴CD+QD+PC=31，
即t+13+21-3t=31，
解得：t=[3/2]，
∴不存在某一时刻t，使直线PQ恰好把直角梯形ABCD的周长和面积同时等分．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 此题主要考查了四边形综合以及勾股定理和平行四边形的判定等知识，利用分类讨论的思想得出是解题关键．