Question

已知函数f(x)的定义域为R,对任意数m,n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1.求f(-1/2)的值并求证f(x)

Answer 1

f(0+0)=f(0)+f(0)-1,所以f(0)=1

f(x)+f(-x)-1=f(x+(-x))=f(0)=1,所以f(-x)=2-f(x)

所以f(-1/2)=2-2=0

f(x)=f(x-1/2+1/2)=f(x-1/2)+f(1/2)-1=f(x-1/2)+1

所以当x>0时,x-1/2>-1/2,这时f(x-1/2)>0,所以

当x>0时,f(x)-1>0

设x1>x2,则有f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)-1=f(x2)+f(x1-x2)-1

因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以函数是增函数