证明：作∠ABC的平分线交AC于D,在BA上截取BE=BC,连结DE(如图）；
∵∠A:∠CBA:∠BCA=1:2:4
∴∠A＝180°/7,∠ABC＝2∠A,∠C＝4∠A
∵BD平分∠ABC
∴∠EBD＝∠CDB＝½∠ABC＝∠A
∴DB=DA
又BD＝BD,BE＝BC
∴△BDE≌△BDC（SAS)
∴∠BED＝∠C＝4∠A,
∠BDE＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A
∴∠AED＝180°－∠BED＝180°－4∠A＝180°－﹙∠EDB＋∠CDB﹚＝∠ADE
∴AE＝AD
∵∠C＝∠C,∠CBD＝∠A
∴△CBD∽△CAB
∴CB/CA=BD/AB即
CB/CA=AD/AB＝AE/AB＝﹙AB－BE﹚/AB＝﹙AB－BC﹚/AB也即
CB/CA＝﹙AB－BC﹚/AB
∴CB/CA＋BC/AB＝1
最终1/CA＋1/AB＝1/CB