Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．

Answer 1

解题思路：（1）由正方体的性质可得AD⊥面DC₁ ，故AD⊥D₁F．

（2）由AD⊥D₁F，AE⊥D₁F，证得D₁F⊥面AED，从而证得面AED⊥面A₁FD．

（3）取AB的中点G，三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，由

V

E−AA

1

F

＝

V

F−AA

1

E

＝

1

3

•FG•

S

△AA

1

E

求得结果．

（1）证明：∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁ ，又D₁F⊂面DC₁，

∴AD⊥D₁F．

（2）证明：由（1）知AD⊥D₁F，由题意得 AE⊥D₁F，

又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，

又D₁F⊂面A₁FD₁，∴面AED⊥面A₁FD．

（3）取AB的中点G，连接GE、GD，∵体积VE−AA1

F 1＝VF−AA1E，又FG⊥面ABB₁A₁，

三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，∴VE−AA 1 F＝VF−AA 1 E＝

1

3•FG•S△AA 1 E=[1/3×2×(

1

2×2×2)=

4

3]．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明D1F⊥面AED是解题的关键．