Question

已知数列{an}是公比大于1的等比数列，满足a3•a4=128，a2+a5=36；数列{bn}满足bn+1=2bn-bn

Answer 1

解题思路：（1）依题意，设等比数列{an}的公比为q，解方程组a3•a4＝128a2+a5＝36又a5＞a2，可求得{an}的通项公式；同理，可求得等差数列{bn}的公差，继而可求{bn}的通项公式；（2）Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n，利用错位相减法即可求得Sn．

（1）依题意，

a3•a4＝128

a2+a5＝36⇒

a2•a5＝128

a2+a5＝36，又a₅＞a₂，

∴

a2＝4

a5＝32，解得

a1＝2

q＝2，

∴a_n=2ⁿ．

由b_n+1=2b_n-b_n-1，得2b_n=b_n+1+b_n-1（n∈N^*，n≥2），

∴{b_n}是等差数列，设其公差为d，由b42=b₂•b₈及b₁=1，得：（1+3d）²=（1+d）（1+7d），

∴d²=d，又b₂≠b₁，

∴d=1，

∴b_n=1+（n-1）×1=n．

∴a_n=2ⁿ，b_n=n；

（2）由S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ得：

2S_n=1×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹；

两式相减得：-S_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=

2(1−2n)

1−2-n×2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）×2ⁿ⁺¹，

故S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的性质，着重考查数列的求和，突出考查错位相减法，考查方程思想与运算能力，属于中档题．