解题思路：（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出FC，求出面积．
（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积不能等于2，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF，进而在直角△AHE中求出AH．
（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．
在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AHE≌△BEF，
同理可证：△MFG≌△BEF，
∴GM=BF=AE=2，
∴FC=BC-BF=10，
则S△GFC=10，
（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M．
连接HF．
∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，
∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，
∴∠AHE=∠MFG．
又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM=AE=2．
∴S△GFC＝
1
2FC•GM＝
1
2（12-a）×2=（12-a）
（3）△GFC的面积不能等于2．
∵若S△GFC=2，则12-a=2，
∴a=10．
此时，在△BEF中，EF＝
BE2+BF2＝
(10−2)2+102＝
164，
在△AHE中，AH＝
EH2−AE2＝
EF2−AE2＝
164−22＝
点评：
本题考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．
考点点评： 解决本题的关键是证明三角形全等．