解题思路：（1）由题意中所给的定义直接判断f（3）+f（5）与2f（4）大小即可；
（2）对于函数f1（x）∉M可通过举两个反例，说明其不符合所给的定义可取x=1，y=2，对于f2（x）∈M可按定义规则进行证明，任取x，y∈R+，求出
f(
x+y
2
)＝lo
g
a
x+y
2
利用基本不等式，得到
lo
g
a
x+y
2
≥
1
2
lo
g
a
(xy)＝
1
2
(lo
g
a
x+lo
g
a
y)
，即可证明出结论；
（3）参照（2）的方法，利用所给的定义及基本不等式作出变化，再判断即可得出所求的最值
（1）
f(3)+f(5)
2≤f(
3+5
2)，即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案写成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）（4分）
（2）①对于f1(x)＝
1
x(x＞0)，取x=1，y=2，则
f1(
x+y
2)＝f1(
3
2)＝
2
3
[1/2[f2(x)+f2(y)]＝
1
2(1+
1
2)＝
3
4]
所以f(
x+y
2)＜
1
2[f(x)+f(y)]，f1（x）∉M．（6分）
②对于f2（x）=logax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R+，则f(
x+y
2)＝loga
x+y
2
∵
x+y
2≥
xy，而函数f2（x）=logax（a＞1，x＞0）是增函数
∴loga
x+y
2≥loga
xy，即loga
x+y
2≥
1
2loga(xy)＝
1
2(logax+logay)
则f2(
x+y
2)≥
1
2[f2(x)+f2(y)]，即f2（x）∈M．（10分）
（3）设x=2m，y=2n，则m=log2x，n=log2y，且m+n=1．
由（2）知：函数g（x）=log2x满足g(
x+y
2)≥
1
2[g(x)+g(y)]，
得log2
x+y
2≥
1
2[log2x+log2y]，即log2
1
2≥
1
2(m+n)，则m+n≤-2（14分）
当且仅当x=y，即2m＝2n＝
1
2，即m=n=-1时，m+n有最大值为-2．（16分）
点评：
本题考点： 不等式的综合．
考点点评： 本题考查不等式的综合题，考查了比较大小，基本不等式求最值的运用，对数的运算性质，解答本题关键是理解定义及基本不等式的运用规则，本题考查了理解能力及判断推理的能力，考查了转化的思想，本题综合性强，注意总结本题的做题的规律