Question

利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.

Answer 1

构造函数f(t)＝t^t (t>0),易得

f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,

∴f(t)＝t^t (t>0)是下凸函数.

故依Jensen不等式,可得

f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]

→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].

上式两边平方,即得

(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).

显然,m＝n时,上式取等.

故原不等式得证.