如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是棱形,SA⊥平面ABCD,M,N分别为SA,CD的中点.

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  • (Ⅰ)证明:如图,取SB中点E,连接ME、CE,

    因为M为SA的中点,

    所以ME ∥ AB,且 ME=

    1

    2 AB ,

    因为N为菱形ABCD边CD的中点,

    所以CN ∥ AB且 CN=

    1

    2 AB ,

    所以ME ∥ CN,且ME=CN,

    所以四边形MECN是平行四边形,

    所以MN ∥ EC,

    又因为EC⊂平面SBC,ME⊄平面SBC,

    所以直线MN ∥ 平面SBC.(5分)

    (Ⅱ)证明:如图,连接AC、BD,相交于点O,

    因为SA⊥底面ABCD,

    所以SA⊥BD.

    因为四边形ABCD是菱形,

    所以AC⊥BD.

    又SA∩AC=A,

    所以BD⊥平面SAC.

    又BD⊂平面SBD,

    所以平面SBD⊥平面SAC.(10分)

    (Ⅲ)如图,连接AN,因为MA⊥平面ABCD,

    所以AN是MN在平面ABCD上的射影,

    所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角.

    设SA=AD=DC=2,

    由∠ABC=60°,

    可知 AN=

    3 ,AM=1,

    所以在Rt△AMN中∠ANM=30°,

    即直线MN与平面ABCD所成的角为30°.(14分)