解题思路：（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴
3+2a+b=3
3-a=1，解得
a=2
b=-4，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=
2
3或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
⊙⊙⊙⊙x⊙-3⊙（-3，-2）⊙-2⊙(-2，
2
3)⊙[2/3]⊙(
2
3，1)⊙1⊙⊙f'（x）⊙⊙+⊙⊙-⊙⊙+⊙⊙⊙f（x）⊙8⊙增⊙极大值⊙减⊙极小值⊙增⊙4∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为f(
2
3)=
95
27，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．
点评：
本题考点： A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:利用导数求闭区间上函数的最值
考点点评： 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．